Định lý viet và ứng dụng giải 16 dạng bài tập quan trọng

Định lý Viet là một kiến thức quan trọng ở bậc THCS mà bạn cần phải nhớ khi muốn học tốt toán. Không chỉ có trong bài kiểm tra, thi học kì mà còn xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi, thi vào 10. Do đó, hôm nay tôi gửi tới bạn nội dung định lý Viet thuận, định lý viet đảo, hệ thức viet và những ứng dụng của nó. Mời bạn theo dõi ngay sau đây

1. Định lý viet bậc 2

Định lý Viet thuận: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) thì {S=x1+x2=–baP=x1x2=ca

Định lý Viet đảo: Nếu có 2 số x₁, x₂ thỏa mãn {x1+x2=Sx1x2=P thì chúng là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn: t² – St + P = 0 (điều kiện để tồn tại 2 số x₁, x₂ là S² – 4P ≥ 0)

Áp dụng: Nhờ định lý Viet, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc 2 thì có thể suy ra nghiệm kia.

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm điều kiện để pt có hai nghiệm {a≠0Δ≥0

2. Các dạng bài tập định lý Viet

Dạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệm

Thường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, nhiều bạn dùng ngay biệt thức Δ để suy ra các nghiệm x₁, x₂ (nếu có). Tuy nhiên dựa vào hệ thức Viet ta có một cách tính nhẩm nhanh hơn

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau

a) (3–√ – 1)x² – 4x – (3–√ – 5 ) = 0

b) (m + 4)x² – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1

Lời giải

a) (3–√ – 1)x² – 4x – (3–√ – 5 ) = 0

Ta thấy: a + b + c = (3–√ – 1) – 4 – ((3–√ – 5) = 0 => PT có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = –(3√–5)3√–1

b) (m + 4)x² – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1

Ta thấy a – b + c = (m + 3) – (2m + 3)  + (m – 1) = 0 => PT có 2 nghiệm là x₁ = – 1 và x₂ = –(m–1)m+4=1–mm+4

Nhận xét: Qua ví dụ thứ 2, bạn đồng ý với mình rằng phương pháp này giúp giải pt đặc biệt trở nên siêu nhanh!

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm

Nếu ax² + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x₁ + x₂ và P = x₁.x₂.

Ví dụ:

Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải.

Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Dựa vào định lý Viet đảo, ta có:

Ví dụ: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a² và 6a .

Lời giải

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0

Dạng 4. Phân tích tam thức bâc hai thành nhân tử

Giả sử ax² + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có Δ ≥ 0

Ví dụ: Phân tích 3x² + 5x – 8 thành nhân tử

Giải

Nhận xét: 3x² + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = ca=–83=–83

Khi này tam thức 3x² + 5x – 8 = (x – 1)(x + 83)

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x₁ cho trước. Tìm nghiệm thứ hai

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x₁ cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau

Cách 1:

• Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (*)
• Bước 2: Thay x = x₁ vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số
• Bước 3: Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận

Cách 2:

• Bước 1. Thay x = x₁ vào phương trình đã cho tìm được giá trị của tham số.
• Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x₁ cho trước.

Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau

• Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình.
• Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.
• Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Ví dụ: Với giá trị nào của k thì:

a) Phương trình 2x² + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm kia

b) Phương trình (k – 5)x² – (k – 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = – 2. Tìm nghiệm kia

c) Phương trình kx² – kx – 72 có một nghiệm x = – 3. Tìm nghiệm kia?

Lời giải

Dạng 6. Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn hệ một điều kiện cho trước.

“Điều kiện cho trước” ở đây có thể là các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc để một biểu thức của các nghiệm của phương trình bậc hai đạt gtln, gtnn v.v….

Chú ý: Sau khi tìm được tham số ta phải đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình: x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện: x₁ – x₂ = 4

Lời giải

Dạng 7. Lập phương trình bậc trình bậc hai một ẩn khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm có liên quan tới hai nghiệm của một phương trình đã cho

Để lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là α và β ta cần phải tính α + β và α.β, áp dụng định lý vi-ét đảo ta có phương trình cần lập là:

x² – (α + β)x + α.β = 0

Ví dụ: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 7x + 3 = 0.Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x₁ – x₂ và 2x₂ – x₁.

Lời giải

Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số

Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc váo tham số trong phương trình bậc 2 ta làm như sau

Ví dụ: Cho phương trình 8x² – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm với hai số – 1 và 1.

Lời giải

Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có

Dạng 9. Chứng minh hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc hai phương trình bậc 2

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu a₁, a₂ là các nghiệm của phương trình x² + px + 1 = 0 và b₁, b₂ là các nghiệm của phương trình x² + qx + 1 = 0 thì

(a₁ – b₁)(a₂ – b₁)(a₁ + b₂)(a₂ + b₂) = q² -p².

Lời giải

Dạng 10. xét dấu các nghiêm của phương trình bậc 2, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước

Sử dụng định lý vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2: ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0) dựa trên các kết quả sau:

Ngoài ra áp dụng định lý Vi-ét ta có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.

Ví dụ: Cho phương trình x² – (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Lời giải

Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương

Ví dụ: Xác định m để hai phương trình sau tương đương với nhau:

x² + 2x – m = 0 (1)
2x² + mx + 1 = 0 (2)

Lời giải

Dạng 12. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải các bài toán số học

Ví dụ: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x³ + y³ + 1 = 3xy

Lời giải

Dạng 13. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình 1–x−−−−√+4+x−−−−−√=3

Lời giải

Dạng 14. Ứng dụng của định lý Viet vào các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm gtln, gtnn

Học sinh đã được làm quen với bất đẳng thức Cô-si, tuy nhiên ta có thể chứng minh bất đẳng thức này dựa vào định lý Vi-ét:

Giả sử x₁ + x₂ = S không đổi, còn P = x₁.x₂ thay đổi. Từ điều kiện

S² ≥ 4P => P≤S24⇒MaxP=S24⇔x1=x2=S2

Vậy nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

Giả sử x₁ > 0, x₂ > 0 và _x1x2 = P không đổi còn x₁ + x₂ = S thay đổi. Từ điều kiện

S2–4P≥0⇒(S–2P−−√)(S+2P−−√)≥0S–2P−−√≥0⇒S≥2P−−√

Vậy S=2P−−√⇔x1=x2=P−−√

Vậy hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Ví dụ: Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Hãy tìm GTNN của F = x³ + y³

Lời giải

Nhận xét: để giải bài toán trên có rất nhiều cách giải như biến đổi biểu thức F chỉ có một biến, đổi biến số. Tuy nhiên vận dung định lý Viet cho ta một cách giải mới như sau:

Dạng 15. Vận dung định lý Viet trong mặt phẳng tọa độ

Vận dung định lý Viet ta có thể giải một số dạng toán trong mặt phẳng tọa độ như khảo sát hàm số, viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

Ví dụ: Cho (P): y = – x² và đường thẳng (D) có hệ số góc là a đi qua điểm M( – 1; – 2).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xác định a để A, B nằm về hai phía trục tung

Lời giải

Dạng 16. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán hình học

Ta đã biết một trong những phương pháp giải các bài toán hình học là “phương pháp đai số”, phương pháp này vận dụng rất có hiệu quả trong các dạng bài tập tính độ dài đoạn thẳng, một số bài toán cực trị hình học. kết hợp với đinh lý Viet sẽ cho ta những lời giải hay và thú vị.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và hai điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên cạnh BC và CD sao cho  MANˆ=450.. Tìm GTNN và GTLN của diện tích tam giác ΔAMN

Lời giải