Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

I. Định nghĩa GTLN, GTNN

Nội dung

[Open][Close]

I. Định nghĩa GTLN, GTNN
II. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9
III. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
IV. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f(x).

Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D

– Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.

– Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:

f(x) ≥ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.

II. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9

1. Biến đổi biểu thức

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{GTNN:\sqrt {{A^2} + m} \geqslant \sqrt m } \\
{GTLN:\sqrt {m - {A^2}} \leqslant \sqrt m }
\end{array};\left( {m \geqslant 0} \right)} \right.

Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

Phương pháp:

– Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: $A = {A_1}^2 + k;\left( {k data-src=$ 0} \right)” width=”168″ height=”25″>

– Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: $A =- {A_1}^2 - k;\left( {k data-src=$ 0} \right)” width=”183″ height=”25″>

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

\left| a \right| + \left| b \right| \geqslant \left| {a + b} \right|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích $a.b \geqslant 0$

III. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x - \sqrt x + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$

Lại có ${\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Min $x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Vậy Max $A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. $E = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

b. $D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$

Gợi ý đáp án

a. Điều kiện xác định $x \geqslant 0$

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1 \Rightarrow \max A = 1$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định $x \geqslant 0$

D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \max A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định: $x \in \left[ { - 3;3} \right]$

Ta có:

\begin{matrix}
{Q^2} = {x^4}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\
{Q^2} = 4.\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\
\end{matrix}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\begin{matrix}
{Q^2} \leqslant 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {9 - {x^2}} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = 4.27 \hfill \\
\Rightarrow Q \leqslant 6\sqrt 3 \hfill \\
\Rightarrow \max Q = 6\sqrt 3 \hfill \\
\end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \pm \sqrt 6$

Bài 4: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$

Gợi ý đáp án

Cách 1

a, $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}

b, $P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6$

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)

Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:

9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {9\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow 9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 6

Như vậy P ≤ -5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $9\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}$ hay x = 1/9

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x$ (P < 1)

\begin{matrix}
\Leftrightarrow P\sqrt x = \sqrt x - 1 - 9x \hfill \\
\Leftrightarrow 9x + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow 9{\left( {\sqrt x } \right)^2} + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( * \right) \hfill \\
\end{matrix}

Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:

∆ = (P – 1)² – 36 ≥ 0 ⇔ (P – 1)² ≥ 36 ⇔ P – 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5

Như vậy P ≤ -5 khi $\sqrt x = \frac{{ - \left( {P - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{{ - \left( { - 5 - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Bài 5: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Gợi ý đáp án

a, $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}

b, Có

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = 0$

Bài 6.

Cho hai số thực a,b # 0 thỏa mãn $2{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của

Gợi ý đáp án

Ta giả thiết ta có:

\begin{array}{l}
4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) + ab + 2\\
= {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + ab + 2\\
\Rightarrow ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab + 2017 \le 2019 \Rightarrow S \le 2019
\end{array}$

Mặt khác

\begin{array}{l}
4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) - ab + 2\\
= {\left( {a - \dfrac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} - ab + 2\\
\Rightarrow - ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab \ge 2 \Rightarrow ab + 2017 \ge 2015 \Rightarrow S \ge 2015
\end{array}

Bài 7

Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn ${x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 8$ . Tìm min, max của A= xy+2024

Gợi ý đáp án

Từ giả thiết ta có:

\begin{array}{l}
8 = {x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} \Rightarrow 16 = 2{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4}\\
= \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy + 8\\
\Rightarrow 8 = {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} - xy + 8 \le 16 \Rightarrow xy \ge - 8\\
\Rightarrow A = xy + 2024 \ge 2016
\end{array}

Mặt khác

\begin{array}{l}
16 = \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) + xy + 8\\
= {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + xy - 8 \Rightarrow xy - 8 \le 16 \Rightarrow xy \le 8 \Rightarrow S = xy + 2024 \le 2032
\end{array}

Bài 8

Cho x, y khác 0 biết $8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = 4$ . Tìm x,y để B=xy đạt GTLN, GTNN

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l}
4 = 8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = \left( {4{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) + \left( {4{x^2} + {y^2} - 4xy} \right) + 4xy + 2\\
4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x - y} \right)^2} + 4xy + 2 \Rightarrow 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \le \dfrac{1}{2}
\end{array}

Mặt khác

4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 2 \Rightarrow - 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \ge - \dfrac{1}{2}

IV. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a. $\sqrt {x - 4} - 2$

b. $x - \sqrt x$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. $A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}$	b. $B = 6\sqrt x - x - 1$
c. $C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$ . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức:

B = \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + 1;\left( {x > 0} \right)

a. Rút gọn B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Bài 7: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$	b, $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$	c, $C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}$
d, $D = \frac{{\sqrt x }}{{x + 4}}$	e, $E = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}$

Bài 8: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 9: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 10: Cho biểu thức $M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 12. Cho x,y khác 0 thỏa mãn $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 13. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của $A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy$

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}}$ với x ≥ 0	b, $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ với x ≥ 0
c, $C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$ với x > 0	d, $D = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ với x > 0