Tóm tắt kiến thức lượng giác
Ứng Dụng Lượng Giác
Góc Lượng Giác Trên Đường Tròn
Radian: 0
Góc chuẩn: 0°
Các Loại Góc
Góc Dương và Góc Âm
Góc dương: Ngược chiều kim đồng hồ
Góc âm: Cùng chiều kim đồng hồ
Góc Chuẩn
Góc nằm trong khoảng [0°, 360°)
Góc Phụ Nhau
Hai góc có tổng bằng 90°
Nếu α và β là hai góc phụ nhau: α + β = 90°
Ví dụ: 30° và 60° là hai góc phụ nhau
Góc Bù Nhau
Hai góc có tổng bằng 180°
Nếu α và β là hai góc bù nhau: α + β = 180°
Ví dụ: 30° và 150° là hai góc bù nhau
Góc Đối Nhau
Hai góc đối xứng qua tâm đường tròn lượng giác
Nếu α và β là hai góc đối nhau: β = α + 180°
Ví dụ: 30° và 210° là hai góc đối nhau
Góc Hơn Nhau π
Hai góc có hiệu bằng π (180°)
Nếu α và β là hai góc hơn nhau π: β = α ± π
Ví dụ: 45° và 225° là hai góc hơn nhau π
Góc Đồng Vị
Các góc khác nhau nhưng có cùng vị trí trên đường tròn lượng giác
α ± n×360° (n là số nguyên)
Công Thức Cơ Bản
sin²α + cos²α = 1
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
sec α = 1 / cos α
csc α = 1 / sin α
Công Thức Cộng Trừ
sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α±β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
Công Thức Nhân Đôi
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α
tan 2α = 2 tan α / (1 – tan²α)
Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng
sin α sin β = ½[cos(α-β) – cos(α+β)]
cos α cos β = ½[cos(α-β) + cos(α+β)]
sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α-β)]
Công Thức Biến Đổi Tổng Thành Tích
sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2)
sin α – sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α-β)/2)
cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α-β)/2)
cos α – cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)
Công Thức Nửa Góc
sin(α/2) = ±√((1-cos α)/2)
cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2)
tan(α/2) = (1-cos α)/sin α = sin α/(1+cos α)
Công Thức Góc Phụ Nhau
sin(π/2 – α) = cos α
cos(π/2 – α) = sin α
tan(π/2 – α) = cot α
cot(π/2 – α) = tan α
Công Thức Góc Bù Nhau
sin(π – α) = sin α
cos(π – α) = -cos α
tan(π – α) = -tan α
cot(π – α) = -cot α
Công Thức Góc Đối Nhau
sin(-α) = -sin α
cos(-α) = cos α
tan(-α) = -tan α
cot(-α) = -cot α
Đồ Thị Hàm Số Lượng Giác
Điều Chỉnh Hàm Số
y = A × f(x)
y = f(B × x)
y = f(x – C)
y = f(x) + D
Phương trình hiện tại:
y = sin(x)
Đặc Điểm Của Hàm Số Lượng Giác
Hàm sin(x)
- Miền xác định: R
- Miền giá trị: [-1, 1]
- Chu kỳ: 2π
- Tính chẵn lẻ: Hàm lẻ
- Điểm cực trị: Cực đại tại x = π/2 + 2nπ, cực tiểu tại x = 3π/2 + 2nπ
Hàm cos(x)
- Miền xác định: R
- Miền giá trị: [-1, 1]
- Chu kỳ: 2π
- Tính chẵn lẻ: Hàm chẵn
- Điểm cực trị: Cực đại tại x = 2nπ, cực tiểu tại x = π + 2nπ
Hàm tan(x)
- Miền xác định: x ≠ π/2 + nπ
- Miền giá trị: R
- Chu kỳ: π
- Tính chẵn lẻ: Hàm lẻ
- Tiệm cận đứng: x = π/2 + nπ
Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Phương trình sin(x) = a
Nếu |a| > 1: Vô nghiệm
Nếu |a| ≤ 1: x = arcsin(a) + 2nπ hoặc x = π – arcsin(a) + 2nπ, với n ∈ Z
Ví dụ: Giải phương trình sin(x) = 0.5
Bước 1: arcsin(0.5) = π/6
Bước 2: x = π/6 + 2nπ hoặc x = π – π/6 + 2nπ = 5π/6 + 2nπ, với n ∈ Z
Đáp án: x = π/6 + 2nπ hoặc x = 5π/6 + 2nπ, với n ∈ Z
Phương trình cos(x) = a
Nếu |a| > 1: Vô nghiệm
Nếu |a| ≤ 1: x = arccos(a) + 2nπ hoặc x = -arccos(a) + 2nπ, với n ∈ Z
Ví dụ: Giải phương trình cos(x) = 0
Bước 1: arccos(0) = π/2
Bước 2: x = π/2 + 2nπ hoặc x = -π/2 + 2nπ = 3π/2 + 2nπ, với n ∈ Z
Đáp án: x = π/2 + nπ, với n ∈ Z
Phương trình tan(x) = a
Với mọi a ∈ R: x = arctan(a) + nπ, với n ∈ Z
Ví dụ: Giải phương trình tan(x) = 1
Bước 1: arctan(1) = π/4
Bước 2: x = π/4 + nπ, với n ∈ Z
Đáp án: x = π/4 + nπ, với n ∈ Z
Phương Trình Lượng Giác Phức Tạp
Phương trình bậc hai đối với sin(x)
a·sin²(x) + b·sin(x) + c = 0
Đặt t = sin(x), giải phương trình bậc hai a·t² + b·t + c = 0
Ví dụ: Giải phương trình 2sin²(x) – sin(x) – 1 = 0
Bước 1: Đặt t = sin(x)
Bước 2: Giải 2t² – t – 1 = 0
Bước 3: Δ = 1 + 8 = 9, t₁ = 1, t₂ = -1/2
Bước 4: Với t₁ = 1, sin(x) = 1 ⟹ x = π/2 + 2nπ
Bước 5: Với t₂ = -1/2, sin(x) = -1/2 ⟹ x = -π/6 + 2nπ hoặc x = -5π/6 + 2nπ
Đáp án: x = π/2 + 2nπ hoặc x = -π/6 + 2nπ hoặc x = -5π/6 + 2nπ, với n ∈ Z
Phương trình dạng a·sin(x) + b·cos(x) = c
Chuyển về dạng R·sin(x + φ) = c, với R = √(a² + b²) và φ = arctan(b/a)
Ví dụ: Giải phương trình sin(x) + cos(x) = 1
Bước 1: Chuyển về dạng R·sin(x + φ) = 1
Bước 2: R = √(1² + 1²) = √2, φ = arctan(1) = π/4
Bước 3: √2·sin(x + π/4) = 1
Bước 4: sin(x + π/4) = 1/√2 = √2/2
Bước 5: x + π/4 = π/4 + 2nπ hoặc x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
Đáp án: x = 0 + 2nπ hoặc x = π/2 + 2nπ, với n ∈ Z
Phương trình đồng nhất lượng giác
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ: Giải phương trình sin²(x) + cos²(x) = 1
Đây là đồng nhất thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi x ∈ R
Đáp án: x ∈ R
Giải Phương Trình Lượng Giác
Phương trình:
sin(x) = 0.5
Nghiệm:
x = π/6 + 2nπ hoặc x = 5π/6 + 2nπ, với n ∈ Z
Trong khoảng [0, 2π]: x = π/6 ≈ 0.52 và x = 5π/6 ≈ 2.62
