Dạng 2. Bài toán kết hợp nón-trụ-cầu

Cho hình nón $ \left( N \right)$ có góc ở đỉnh bằng $ {{60}^{\text{o}}},$ độ dài đường sinh bằng $ a$. Dãy hình cầu
$ \left( {{{S}_{1}}} \right),$ $ \left( {{{S}_{2}}} \right),$ $ \left( {{{S}_{3}}} \right),…,$ $ \left( {{{S}_{n}}} \right),…$thỏa mãn: $ \left( {{{S}_{1}}} \right)$ tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón $ \left( N \right);$ $ \left( {{{S}_{2}}} \right)$ tiếp xúc ngoài với $ \left( {{{S}_{1}}} \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $ \left( N \right);$ $ \left( {{{S}_{3}}} \right)$ tiếp xúc ngoài với $ \left( {{{S}_{2}}} \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $ \left( N \right)$. Tính tổng thể tích các khối cầu $ \left( {{{S}_{1}}} \right),$ $ \left( {{{S}_{2}}} \right),$ $ \left( {{{S}_{3}}} \right),…,$ $ \left( {{{S}_{n}}} \right),…$ theo $ a$.

Cho mặt cầu $ \left( S \right)$ có bán kính bằng $ 2$ và có một đường tròn lớn là $ \left( C \right)$. Khối nón $ \left( N \right)$ có đường tròn đáy là $ \left( C \right)$ và thiết diện qua trục là tam giác đều. Biết rằng phần khối nón $ \left( N \right)$ chứa trong mặt cầu $ \left( S \right)$ có thể tích bằng $ \left( {a+b\sqrt{3}} \right)\pi $, với $ a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $ a+b$.

Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng $ 5$ được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh $ X$ của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích $ V$ của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục $ XY$.

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng $ \frac{3}{2}$chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $ 54\sqrt{3}\pi \,\,\left( {d{{m}^{3}}} \right)$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng $ 36\pi $, bán kính $ r$ của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là

Cho mặt cầu $ \left( S \right)$ bán kính $ R$. Hình nón $ \left( N \right)$ thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu $ \left( S \right)$. Thể tích lớn nhất của khối nón $ \left( N \right)$ là

Cho mặt cầu $ S\left( {O;4} \right)$ cố định. Hình nón $ \left( N \right)$ gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón $ \left( N \right)$ có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu $ S\left( {O;4} \right)$. Tính bán kính đáy $ r$ của $ \left( N \right)$ để khối nón $ \left( N \right)$ có thể tích lớn nhất.

Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn sau: Trước tiên tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh $ 2\alpha =60{}^\circ $ bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ).
Biết rằng chiều cao của hình nón bằng $ 9cm$. Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng

Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $ r=2\text{m}$, chiều cao $ h=6\text{m}$. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi $ V$ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Giá trị của V là:

Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính $ R=6$ là

Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng $ 3$ lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thuỷ tinh. Biết viên bi là khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thuỷ tinh).

Một hình trụ $ \left( T \right)$ có chiều cao bằng đường kính đáy và một hình nón $ \left( N \right)$ có đáy là đáy của hình trụ $ \left( T \right)$, còn đỉnh là tâm của đáy còn lại của hình trụ $ \left( T \right)$. Gọi $ {{S}_{1}},\,{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ $ \left( T \right)$ và hình nón $ \left( N \right)$. Tỉ số $ \frac{{{{S}_{1}}}}{{{{S}_{2}}}}$ bằng

o hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là $ \sqrt{2}$, trong đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón.

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính $ r$ vào một chiệc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích của khối trụ là $ 120c{{m}^{2}}$, thể tích mỗi khối cầu bằng

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là $ 90cm$, đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là $ 50cm$ và chiều dài là $ 80cm$. Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là $ 40cm$. Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là $ 20cm$ theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?

Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy là $ a$ và chiều cao $ 12$, được đặt vào trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy là $ a$ như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ cho đến khi mực nước đạt đến độ cao $ 12$ thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Trong không gian cho mặt cầu $ \left( S \right)$ tâm $ O$ có bán kính $ R$ và một điểm $ A$ cho
trước sao cho $ AO=2R$. Từ $ A$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn
$ \left( {{{C}_{1}}} \right)$. Trên mặt phẳng $ \left( P \right)$ chứa đường tròn $ \left( {{{C}_{1}}} \right)$ ta lấy điểm $ E$ thay đổi nằm ngoài mặt cầu
$ \left( S \right)$. Gọi $ \left( N \right)$ là hình nón có đỉnh là $ E$ và đáy là đường tròn $ \left( {{{C}_{2}}} \right)$ gồm các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $ E$ đến mặt cầu $ \left( S \right)$. Biết rằng hai đường tròn $ \left( {{{C}_{1}}} \right)$ và $ \left( {{{C}_{2}}} \right)$ luôn cùng bán kính, khi đó quỹ tích các điểm $ E$ là một đường tròn, đường tròn này có bán kính $ {R}’$ bằng

Một bình đựng nước dạng hình nón đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $ 18\pi \text{ d}{{\text{m}}^{3}}$.Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.

Lon bia Hà Nội có hình trụ còn cốc uống bia thì có hình nón cụt (như hình vẽ dưới đây). Khi rót bia từ lon ra cốc thì chiều cao $ h$ của phần bia còn lại trong lon và chiều cao của phần bia có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao $ h$ của bia trong lon gần nhất là số nào sau đây?